Las ecuaciones diferenciales son herramientas fundamentales en física: se utilizan para describir fenómenos que van desde la dinámica de fluidos hasta la relatividad general. Pero cuando estas ecuaciones se vuelven rígidas (es decir, implican escalas muy distintas o parámetros altamente sensibles), resultan extremadamente difíciles de resolver. Esto es especialmente relevante en los problemas inversos, en los que los científicos intentan deducir leyes físicas desconocidas a partir de datos observados.
Para abordar ese reto, investigadores del Instituto de Ciencias del Cosmos de la Universidad de Barcelona (ICCUB) han desarrollado un nuevo marco de trabajo basado en el aprendizaje automático que mejora significativamente la resolución de ecuaciones diferenciales complejas, especialmente en casos en los que los métodos tradicionales presentan dificultades.
Estas metodologías se han aplicado con éxito a tres sistemas de creciente complejidad
El enfoque combina dos técnicas innovadoras: el entrenamiento multijefe (MH), que permite a la red neuronal aprender un espacio general de soluciones para una familia de ecuaciones —en lugar de una única solución específica—, y la regularización unimodular (UR), inspirada en conceptos de la geometría diferencial y la relatividad general, que estabiliza el proceso de aprendizaje y la mayor generalización.
Estas metodologías se han aplicado con éxito a tres sistemas de creciente complejidad: la ecuación de la llama, el oscilador de Van der Pol y las ecuaciones de campo de Einstein en un contexto holográfico. En este último caso, los investigadores han logrado recuperar funciones físicas desconocidas a partir de datos sintéticos, tarea que hasta ahora se consideraba casi imposible.
Este marco ofrece nuevas características en comparación con los métodos numéricos tradicionales”
“Los avances en la eficiencia del entrenamiento del aprendizaje automático han hecho que las PINN se hayan hecho cada vez más populares en los últimos años”, explica Pedro Tarancón, doctorando en el ICUCB. “Este marco ofrece nuevas características en comparación con los métodos numéricos tradicionales, especialmente la capacidad de resolver problemas inversos”.
“Resolver estos problemas inversos es como intentar encontrar la solución a un problema al que le falta una prenda; la pieza correcta dará una solución única, mientras que las incorrectas pueden no tener ninguna solución, o tener varias”, añade Pablo Tejerina, también doctorando en el ICUCB. “Podría intentarse inventar la pieza que falta y ver si el problema se puede resolver correctamente; nuestras PINN hacen lo mismo, pero de forma mucho más inteligente y eficiente que nosotros”.