* El autor forma parte de la comunidad de lectores de Guyana Guardian
El infinito no es un número grande al que se llega tras contar durante mucho tiempo, sino una idea radical que nos obliga a abandonar la visión de la que partimos en el plano cotidiano. Cuando pensamos en cantidades, tendemos a pensar que siempre podemos añadir una unidad más, pero también a pensar que, en un momento determinada, todo podría llenarse, al fin y a la postre.
La concepción del infinito va precisamente en contra de esta idea: no se trata de una cantidad que se llega a completar, sino que es una propiedad que no se puede llegar a agotar. Abordar la lectura del concepto de infinito nos exige tomar conciencia de que nuestra concepción habitual del mundo es limitada, y de que es la matemática la que revela estructuras de una complejidad distinta a la que perciben nuestros sentidos.
Durante muchos siglos, los matemáticos evitaron considerar el infinito como algo real. Algunos creían que era peligroso desde un punto de vista lógico, otros pensaban que sólo pertenecía al ámbito de la filosofía o la teología. Sin embargo, a finales del siglo XIX, el matemático alemán Georg Cantor decidió enfrentarse a este concepto. No se limitó a decir que el infinito existía: quiso compararlo, medirlo en cierto sentido y averiguar si todos los infinitos eran iguales o no. Lo que encontró fue tan sorprendente que constituyó un cambio radical para la matemática moderna.
Cantor demostró que hay más de un tipo de infinito. De hecho, parece incluso contradictorio ya que la intuición nos dice que solo puede haber un infinito. A la hora de hacer más comprensible esta idea, es útil pensar en el famoso Hotel infinito, una metáfora que David Hilbert popularizó después.
Es la matemática la que revela estructuras de una complejidad distinta a la que perciben nuestros sentidos
Imaginemos un hotel con un número de habitaciones: habitación número 1, habitación número 2, habitación número 3 y así hasta el infinito. Todas las habitaciones están ocupadas. En un hotel cuya capacidad no sea infinita, esto significaría que no hay lugar para nadie más. Pero en este hotel, las cosas son diferentes. Si llega un nuevo huésped, el recepcionista puede pedir a cada uno de sus huéspedes que se mude a la habitación que está situada inmediatamente a su derecha: quien está en la habitación número 1 pasa a la habitación número 2, quien se halla en la habitación número 2 pasa a la habitación número 3, así sucesivamente. Como no hay una última habitación, siempre habrá sitio cuando se ocupa la habitación número 1. El hotel está lleno y, sin embargo, hay sitio para otra persona más.
En esta ilustración se expone el funcionamiento del infinito dentro de los números naturales, los cuales son los números que empleamos al contar: 1, 2, 3, 4… No tienen final y, si fuera necesario, podemos agruparlos de nuevas maneras, reordenando así su secuencia. La situación es aún más extraordinaria si llega un nuevo autobús con muchos pasajeros. Puede que no sepas cómo acomodarles en las habitaciones, pero el recepcionista tiene un as bajo la manga: pide a cada nuevo cliente que se apodere de la habitación cuyo número sea el doble de la que tiene asignada.
El cliente aquí, en la habitación 1, se trasladará a la 2; el cliente de la habitación 2 se trasladará a la 4; el cliente de la habitación 3 lo haría a la 6, y así sucesivamente. De esta forma, todas las habitaciones con número par serán ocupadas, mientras que las impares 1, 3, 5, 7… quedarán sin ocupar.
Como también son infinitas, hay espacio para todos los recién llegados. Esta paradoja muestra algo esencial: un conjunto puede contener el mismo número de elementos que una parte de sí mismo. Los números pares parecen ser menos que todos los números naturales, pero en realidad pueden emparejarse de manera uno a uno. Cantor se refirió a esta magnitud de infinito como cardinalidad alef cero: ℵ0
Georg Cantor.
Lo que es asombroso es que otros grupos, que parecen más densos, también tienen lugar en el hotel. Por ejemplo, las fracciones, como 1/2, 3/4 o 7/5 son números racionales. Entre el 0 y el 1 hay un sinfín de fracciones, y entre cada par de ellas existen aún más; esto puede llevarnos a creer que son “más infinitas”. No obstante, Cantor ideó un método para enumerarlas todas recorriendo una tabla infinita en zigzag y garantizando que cada fracción contara con un número de habitación. A pesar de que puedan parecer que saturan la recta numérica, continúan siendo contables. El hotel tiene la capacidad de organizarlas sin inconvenientes.
Sin embargo, todo se transforma cuando surgen los números irracionales, por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 o el número pi. Estos números tienen decimales infinitos que no presentan una periodicidad ni se repiten. No pueden representarse como una fracción exacta. A primera vista, podrían parecer solo una variedad más de números; sin embargo, en realidad pertenecen a un infinito totalmente diferente. Para comprender por qué no son admitidos en el hotel, hay que reflexionar sobre lo que significa enumerar.
Enumerar no solo implica afirmar que algo es infinito; también significa poder asignar un número natural a cada elemento: primero, segundo, tercero, etc., sin dejar ninguno fuera. El hotel podría hospedarlos si eso fuera factible con los números reales entre 0 y 1, que incluyen a los irracionales. Cantor lo probó. Supongamos que tratamos de elaborar una lista perfecta con todos esos números. Primero escribimos el primero con sus decimales, después el segundo, luego el tercero y así sucesivamente sin límite.
Enumerar no solo implica afirmar que algo es infinito; también significa poder asignar un número natural a cada elemento
Ahora viene la conclusión lógica: siguiendo este procedimiento, es posible crear un número nuevo al cambiar el primer decimal del primer número, el segundo decimal del segundo, el tercero del tercero, etcétera. El número resultante se diferenciará de cada uno de los números de la lista por al menos un dígito, lo que implica que no estaba presente. No importa cuántas veces lo intentemos; siempre será factible generar un número adicional que falte.
Por eso afirmamos que los irracionales no pueden ser alojados en el hotel: porque no hay ninguna numeración que pueda incluirlos a todos. No se trata de un problema de organización o espacio, sino más bien de estructura. El infinito de los números naturales es discontinuo, como una sucesión de puntos apartados.
Como una línea sin interrupciones, los números reales (entre los que se encuentran incluidos los irracionales) son continuos. Siempre existe un número real entre dos números reales, y no solo uno, sino una cantidad infinita de ellos que no se pueden enumerar.
El hotel sirve para conjuntos donde cada elemento puede ser señalado con un turno preciso; fracasa cuando la densidad es tan absoluta que cualquier lista queda incompleta. Esta diferencia nos obliga a replantearnos la naturaleza misma de la realidad matemática. Significa que lo contable es solo una pequeña isla dentro de un océano mucho más vasto.
De hecho, si se seleccionara un punto al azar en una recta, la probabilidad de que corresponda exactamente a una fracción es cero. Casi todos los puntos son irracionales. Bertrand Russell y Kurt Gödel comprendieron que estas ideas no eran simples curiosidades, sino pistas sobre los límites del pensamiento lógico.
El infinito dejó de ser una exageración para transformarse en la arquitectura profunda de la matemática. Y la conclusión es reveladora: todo lo que podemos contar forma apenas una película superficial sobre una continuidad inconmensurable.
Sin darnos cuenta, vivimos en un universo donde es imposible enumerar o clasificar la mayoría de los números. Cantor nos mostró que siempre existe un infinito superior al que se encuentra más allá, como una escalera interminable que asciende hacia lo inimaginable.
El infinito no es el objetivo último del conocimiento, sino un entorno sin límites en el que se desenvuelve todo lo que existe, una evidencia de que la realidad es más vasta, más honda y más enigmática de lo que nuestra mente finita podrá abarcar.
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